DE MAGISCHE PAARDRONDE

In augustus 2003 werd bekend dat de Fransman Meyrignac een 156 jaar oud wiskundig probleem had opgelost; dat van de 'volledig magische paardronde'. Een door hem afgerichte supercomputer kwam er na 61 dagen rekenen achter dat die paardronde niet bestaat.
    De paardronde, een opgave uit de ontspanningswiskunde, is een rondgang van een schaakpaard over het bord waarbij ieder veld één maal wordt bezet. De oude Arabieren wisten al hoe dat moest. (Zie afbeelding).

Deze ronde van Al-Adli, uit een manuscript uit het jaar 840, is meteen ook een 'gesloten' paardronde - van het eindpunt van zijn reis kan het paard weer naar het beginpunt springen. Wie zo'n ronde uit zijn hoofd kent, of al doende weet te vinden, kan zich een willekeurig uitgangsveld laten opgeven om een paardronde te demonstreren. Het was één van de kunststukken waarmee 'De Turk', de beroemde schaakautomaat uit de 18e eeuw, furore maakte. Ook de legendarische Belgisch-Amerikaanse schaakmeester en geheugenkunstenaar George Koltanowsky (1903-2000) heeft tot tegen zijn negentigste met bijzondere paardrondes opgetreden. Hij liet het publiek op ieder veld van een demonstratiebord  een papiertje plakken met een woord, naam, telefoonnummer - wat men maar wilde. Hij keek daar een minuut naar, liet zich blinddoeken, en maakte dan vanaf een opgegeven veld een paardronde door te zeggen wat er op die papiertjes stond. Toen hij 78 was heeft hij nog eens over drie aangrenzende borden, met 192 papiertjes, rondgesprongen - maar toen had hij dagenlang moeite zich zijn telefoonnummer te herinneren.

De paardronde is eeuwenlang door grote wiskundigen zoals Euler onderzocht. Al in de middeleeuwen werden er paardronden gevonden die aan speciale voorwaarden voldeden; symmetrische paardronden; paardronden waarbij speciale figuren ontstonden of waarbij het juiste pad, langs velden waar lettergrepen of woorden op stonden, een gedicht opleverde.
     Recent onderzoek heeft aangetoond dat er meer dan honderdzes biljoen verschillende gesloten paardronden zijn, maar het heeft tot de 19e eeuw geduurd voor de paardronde gecombineerd werd met een ander wiskundig idee, dat van het magisch vierkant. Dat is een vierkant raster waarin een reeks opeenvolgende getallen zo gerangschikt is dat iedere orthogonaal en diagonaal dezelfde som heeft. In 1847 liet de Engelsman Beverley als eerste zien dat de getallen 1 tot 64 tegelijkertijd een paardronde en een magisch vierkant kunnen vormen. (Zie afbeelding links).
    De som van iedere orthogonaal is 260, maar de diagonalen komen op 282 en 210, en daarom wordt een magische paardronde als deze onvolledig of halfmagisch genoemd. Bovendien was deze magische paardronde niet gesloten, maar in 1849 liet een Hongaar, Wenzelides, zien dat dat k kon. (Zie afbeelding rechts).
     Ook hier deden de diagonalen niet mee; hun som is 304 en 216.

De vraag bleef dus of de volledig magische paardronde mogelijk was. Er werd bewezen dat die op een n x n bord, als n oneven was, niet kon bestaan, en op een 4n x 4n bord wèl, als n groter was dan 2 - maar uitgerekend voor het gewone schaakbord van 8 x 8 werd er géén volledig magische paardronde gevonden, maar evenmin een bewijs dat die niet bestond.
    Tot Meyrignac met zijn rekengeweld vaststelde dat er honderdveertig verschillende halfmagische paardronden zijn - maar geen enkele volledig magische.

© Tim Krabbé, 2003


Index AD Magazine schaakrubrieken
Bovenkant pagina | Hoofdpagina schaken | Hoofdpagina algemene site